Applications

Ecoulement de Poiseuille

Hypothèses

On étudie l'écoulement d'un fluide visqueux, incompressible, newtonien, à vitesse lente. Le conduit est cylindrique de rayon R petit. L'écoulement est permanent dans la direction z.

La pesanteur est négligée, la symétrie du conduit impose l'utilisation des coordonnées cylindriques (r,θ,z) les composantes correspondantes de la vitesse sont (u, v, w).

Equation de Navier Stokes en coordonnées cylindriques

Explications
Explications

La loi de Hagen Poiseuille

La vitesse est maximale sur l'axe de la conduite :

\[w_{max} = - \frac{1}{4 \mu} \frac{d P}{d z} R^2\]

La vitesse moyenne \(\frac{q_V} {S}\) est :

\[\overline{w} = \frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int^R_0 w (r) r d r = - \frac{1}{8 \mu} \frac{d P}{d z}R^2 = \frac{w_{max}}{2}\]

Le débit en volume est :

\[q_v = \pi R^2 \overline{w} = \frac{\pi R^4}{8 \mu} \frac{d P}{d z}\]

Soit

\[q_v = \frac{\pi R^4}{8 \mu} \frac{P_1 - P_2}{l} = \frac{\pi D^4}{128 \mu l} \Delta P\]

Force de frottement sur la paroi

La force de frottement par unité de surface sur la paroi est :

\[\tau = | \mu \frac{d w}{d r} | = \frac{d P}{d z} \frac{R}{2}\]

Pour toute la surface, on obtient :

\[\begin{array}{l} F = \frac{d P}{d z} \frac{R}{2} 2 \pi R l = \pi R^2 \frac{d P}{d z} l \\ F = S \Delta P \end{array}\]