Applications

Ecoulement dans un conduit bidimensionnel

Hypothèses

On considère un conduit bidimensionnel infini, d'épaisseur 2b faible, l'axe x coïncide avec l'axe de symétrie du conduit.

Le fluide est considéré comme newtonien, incompressible en écoulement stationnaire (permanent) selon l'axe x.

On choisit un repère cartésien, la projection de l'équation de Navier Stokes donne :

\[\left\{\begin{array}{c} \rho\frac{d u}{d t} = - \frac{\partial}{\partial x} (\rho g y) - \frac{\partial P}{\partial x} + \mu \Delta u \\ \rho\frac{d v}{d t} = - \frac{\partial}{\partial y} (\rho g y) - \frac{\partial P}{\partial y} + \mu \Delta v \\ \rho\frac{d w}{d t} = - \frac{\partial}{\partial z} (\rho g x) - \frac{\partial P}{\partial z} + \mu \Delta w \\ \end{array} \right. \mbox{ (u, v, w) composantes de la vitesses suivant x, y, z.}\]

Symétrie : dans tout plan xOy, on a le même profil donc w = 0

Il n'y a pas de composantes de la vitesse suivant y donc v = 0

L'équation de continuité div \(\overrightarrow{V}\) = 0 impose \(\frac{\partial u}{\partial x} =0\)

Équation différentielle

Explications

Solution

Explications

Détermination du gradient de pression

Le gradient de pression peut être évalué, en effet si on néglige les forces de pesanteur :

\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial z} = 0\) donc \(P = P(x)\)

On peut donc écrire en appelant P1 et P2 les pressions à l'entrée et à la sortie de la conduite :

\(-\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{P_1 - P_2}{l}\) l est la longueur de la conduite, P1 >P2.

Il suffit de mesurer les pressions correspondantes pour déterminer le gradient de pression.

DéfinitionVitesse moyenne de l'écoulement

La vitesse moyenne de l'écoulement est définie par :

\[\overline{u} = \frac{q_v}{S} = \frac{1}{S} \iint_S \overrightarrow{V}. \overrightarrow{d S}\]

S : section du conduit, \(q_V\) : débit en volume

Le débit en masse par unité d'aire :

\[\frac{q_m}{S} = \rho \overline{u}\]

Pour le conduit bidimensionnel, on trouve :

La vitesse maximale :

\[u_{max} = - \frac{1}{2 \mu} (\frac{\partial P}{\partial x})b^2\]

La vitesse moyenne :

\[\overline{u} = - \frac{1}{3 \mu} (\frac{\partial P}{\partial x})b^2 = \frac{2}{3} u_{max}\]

Le débit en masse par unité d'aire :

\[\frac{q_m}{S} =\frac{\rho}{3 \mu} \frac{P_1 - P_2}{l} b^2\]