Applications

Ecoulements rampants

Définition

Explications

Ce sont des écoulements à très faibles vitesses, dans ce cas les forces de viscosité sont très supérieures aux forces d'inertie

\[\mu \Delta \overrightarrow{V} \rangle \rangle \rangle \rho \frac{d \overrightarrow{V}}{d t}\]

L'équation de Navier Stokes devient

\[\mu \Delta \overrightarrow{V} = \overrightarrow{grad } (P+ \rho g z) = \overrightarrow{grad }P^*\]

Ici ρgz est le potentiel U lorsque les forces de volume se réduisent aux forces de pesanteur. En utilisant l'identité vectorielle :

\[\overrightarrow{rot} \overrightarrow{rot} \overrightarrow{V} = \overrightarrow{grad} (\mbox{div}\overrightarrow{V}) - \Delta \overrightarrow{V}\]

Le fluide est incompressible donc div \(\overrightarrow{V}\) = 0

En remplaçant le laplacien par sa valeur on obtient :

\[- \mu \overrightarrow{rot} \overrightarrow{rot} \overrightarrow{V} = \overrightarrow{grad} P^*\]

Prenons la divergence des deux membres

\[\begin{array}{c} 0 = \mbox{div} (\overrightarrow{grad} P^*)\\ \Delta P^* = 0 \end{array} \]

Un écoulement rampant est un écoulement qui obéit à l'équation de Laplace, on dit qu'il est à potentiel des pressions