Applications

Cas des fluides pesants à la surface libre : nombre de Froude

La procédure pour écrire les équations sans dimension est la même que précédemment, on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{d u'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial x'} + \frac{1}{R} \Delta u' \\ \frac{d v'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial y'} + \frac{1}{R} \Delta v' \\ \frac{d w'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial z'} + \frac{1}{R} \Delta w' - \frac{1}{F} \end{array} \right.\]

On voit apparaître deux nombres sans dimension :

le nombre de Reynolds R et

le nombre de Froude F : \(F = \frac{V^2}{Dg}\)

Avec g l'accélération de la pesanteur et D une grandeur caractéristique de l'écoulement.

Explications

Pour retrouver ce résultat, il est conseillé de faire l'Exercice 1

Interprétation du nombre de Froude :

\(F = \frac{\frac{\rho V^2}{D}}{\rho g}\) Ce qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de pesanteur

Remarque

1- Certains auteurs écrivent le nombre de Froude sous la forme : \(F = \frac{V}{\sqrt{Dg}}\)

2- dans le cas d'un fluide pesant visqueux, les conditions de similitude s'écrivent :

\[\left\{ \begin{array}{l} (\frac{\rho V D}{\mu}) maquette = (\frac{\rho'V' D'}{\mu'}) prototype\\ (\frac{V^2}{D g}) maquette = (\frac{V'^2}{D'g}) prototype \end{array} \right\} \]
\[ \fbox{$ \begin{array}{l} \mbox{ si } (\frac{\mu}{\rho}) maquette = (\frac{\mu'}{\rho'}) prototype \\ \mbox{ Alors } (D')maquette = (D')prototype \mbox{ il n'y a donc pas de maquette possible } \end{array} $}\]