Applications

Écoulement visqueux incompressible autour d'une sphère immobile

Hypothèses : Écoulement permanent, fluide incompressible, on néglige les effets de la pesanteur sur l'écoulement.

\(\rho\) : masse volumique

\(\mu\) : viscosité dynamique

\(v\) : viscosité cinématique

\(\overrightarrow{V_0}\) : vitesse loin de l'obstacle

Nous procédons comme précédemment : écriture de l'équation de Navier Stokes :

\[\rho \frac{D \overrightarrow{V}}{d t} = \mu \Delta \overrightarrow{V} - \overrightarrow{grad} P\]

Équation réduite

On utilise les variables réduites suivantes :

\(P' = \frac{P}{\rho V_0^2} ; z' = \frac{z}{a} ; r' = \frac{r}{a}\)

Les vitesses sont rapportées à V0.

L'équation réduite s'écrit donc sous forme vectorielle :

\[\frac{d \overrightarrow{V'}}{d t'} = - \overrightarrow{grad} P' + \frac{1}{R} \Delta \overrightarrow{V'}\]
Explications

Détermination de la somme F des forces de frottement appliquées à la sphère

On considère la grandeur réduite associée à F suivante : \(\frac{F}{\rho V_0^2 a^2}\)

Ce qui donne comme condition de similitude :

\[(\frac{F}{\rho V^2_{0} a^2}) \mbox{ maquette} = f (R) = (\frac{F'}{\rho' V'^2_{0} a'^2}) \mbox{ prototype}\]

L'étude expérimentale est simplifiée puisque le seul paramètre intervenant dans le problème est le nombre de Reynolds.