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Remarques

Une équation dynamique est insuffisante pour une étude complète d'un écoulement.

Explications

Les caractéristiques de l'écoulement d'un fluide sont données par :

- la vitesse : \(V\)

- la pression : \(P\)

- la masse volumique :\(\rho\)

- la température : \(T\)

L'équation d'Euler doit donc être complétée par d'autres équations caractérisant le fluide, son mouvement et les conditions d'écoulement.

Eléments à ajouter

Il faut donc ajouter :

- l'équation de conservation de la masse : \(\mbox{div} (\rho \overrightarrow{V}) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = \rho Q\) avec Q le débit volumique de production

- l'équation d'état du fluide :\(f (P, \rho, T) = 0\)

- l'équation caractérisant le type de transformation subie par le fluide (incompressible, isotherme, adiabatique...).

- les conditions aux limites et les conditions initiales qui permettent de déterminer les constantes d'intégration.

ExempleÉquation caractéristique du fluide

\(f(P, \rho, T)=0\)

- liquide incompressible : \(\rho = f(T)\)

- liquide légèrement compressible : \(\rho = \rho_0(T) (1 + k P)\)

- Gaz parfait : \(\frac{P}{\rho} = r T\)

AttentionTransformations subies

Dans le cas de transformations réversibles :

Pour les isothermes : \(\rho = cste\) (fluide incompressible) et \(\frac{P}{\rho} =cste\) (gaz parfait).

Pour les transformations adiabatiques : \(\rho = cste\) (fluide incompressible) et \(\frac{P}{\rho ^y} =cste\) (gaz parfait).

ExempleConditions aux limites

Elles sont définies par des parois fixes ou mobiles ou par des surfaces libres.

Paroi fixe

L'équation de la paroi est donnée par : F(x, y, z) = 0

En fluide parfait la vitesse est nécessairement orthogonale à la paroi; cette normale est définie par le gradient de la fonction F(x,y,z); la condition aux limites s'écrit donc :

\[\sum^3_{i=1} v_i \frac{\partial F}{\partial x_i} = 0\]

vi est la projection de la vitesse sur x, y ou z et le deuxième terme représente les coordonnées du gradient de F.

Paroi mobile

On ajoute simplement à l'équation précédente le terme dépendant du temps, soit :

\[\sum^3_{i=1} v_i \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0\]

Surface libre

\(P = constante\)